Vorlesung "Niedrigdimensionale Topologie" im Wintersemester 2009/10

Dienstag 16-18 Uhr im Blauen Pavillon

Wegbeschreibung zum Blauen Pavillon:
Gegenüber dem Neubau, hinter dem Fahrradunterstand, ist eine Pforte mit den Schildern "Betreten für Unbefugte verboten" und "Dieser Bereich ist videoüberwacht". Durch diese Pforte, vorbei am weißen Pavillon, zum blauen Pavillon.

Themen

20.10.:
Einführung und Überblick

27.10.:
Pseudogruppen von Homöo's auf X, G-Mannigfaltigkeiten, Blätterungen,
Simplizialkomplexe und Triangulierungen
Prop. 1: K Simplizialkomplex, Link(σ^p)=S^n-p-1 für alle Simplizes σ ==> K ist n-Mannigf.
Prop. 2: K 3-dim. Simplizialkomplex, Link(v)=S² für alle Ecken v ==> K ist 3-Mannigf.
Prop. 3: K 3-dim. geschlossener Simplizialkomplex: K 3-Mannigf. <==> Euler-Char.= 0

3.11.:
Riemannsche Mannigfaltigkeiten, Geodäten, Isometrien
(G,X)-Mannigfaltigkeiten
Beispiele vollständiger/unvollständiger hyperbolischer Strukturen auf S²-{3 Punkte}

10.11.:
Entwicklungsabbildung
Holonomie-Homomorphismus
Prop. 4: M vollst. (G,X)-Mf., π₁X=0 ==> M=X/Γ, Γ=Hol(π₁M)
Prop. 5: M vollst. (G,X)-Mf. <==> M vollst. metr. Raum (Cauchy-Folgen konvergieren)

17.11.:
Freie Gruppenwirkungen: eigentlich diskontinuierlich ==> diskret
Prop. 6: G wirkt diskret auf X ==> X-->X/G Überlagerung
Prop. 7: G wirkt eigentl.diskont. auf X <==> X/G Hausdorff-Mf.

1.12.:
Lie-Gruppen, invariante Metriken, adjungierte Darstellung, Killing-Form
GL(n,R)/O(n)={positiv definite symmetrische Matrizen} ist kontrahierbar
Prop. 8: Γ diskret in G ==> Γ wirkt eigentl.diskont. auf G
Prop. 9: Γ wirkt eig.disk. auf X, f:X->Y eigentlich & äquivariant ==> Γ wirkt eig. disk. auf Y

8.12.:
Homogene Räume - Beispiele: H²=SL(2,R)/SO(2), T₁H²=PSL(2,R), H³=SL(2,C)/SU(2)
Lokal-homogene Räume - Beispiele: Linsenräume, Poincare-Homologiesphäre
(G,X)-Bündel, Bündelabbildungen, assoziierte Bündel, Vektorbündel

15.12.:
Rahmenbündel, Reduktion der Strukturgruppe
Prop.10: G-HFB E hat Reduktion zu H <==> E/H hat Schnitt
Kor.: jede Mf. hat Riem. Metrik
Flache Bündel, Holonomie

5.1.:
Zusammenhänge in Prinzipalbündeln, Holonomie
Levi-Civita-Zusammenhang
Standard-Kontaktstruktur als Zusammenhang eines R¹-Prinzipalbündels mit Krümmung -1

19.1.:
Legendrekurven, Kontaktmannigfaltigkeiten, Kontaktomorphismen
Hebbarkeit flächenerhaltender Diffeo's der x-y-Ebene
Hebbarkeit von Diffeo's der y-z-Ebene
Prop.11: S Fläche ==>T₁S Kontaktmf.
Definition Modellgeometrie

26.1.:
Satz von Cartan-Ambrose-Hicks
Klassifikation 2-dimensionaler Modellgeometrien
Geometrisierung von Flächen

2.2.:

Überblick zur Klassifikation 3-dimensionaler Modellgeometrien
Überblick zur Geometrisierung von 3-Mannigfaltigkeiten

Literatur:

Bonahon: Low-dimensional geometry
Katok, Climenhaga: Lectures on surfaces
Benedetti, Petronio: Lectures on hyperbolic geometry
Lickorish: Introduction to Knot Theory
Hatcher: 3-manifolds
Hempel: 3-manifolds
Thurston: Three-Dimensional Geometry and Topology
Thurston's Lecture Notes

Thilo Kuessner, 83-32732, Büro 501